מדוע חלק מהמספרים "אי-רציונליים" ומה הוכחת ריבוע 2?

תשובה

מספר רציונלי הוא מספר שניתן לכתוב כשבר p/q כאשר p ו-q מספרים שלמים. מספר אי-רציונלי אינו ניתן לכתיבה כזו, והספרות העשרוניות שלו ממשיכות לנצח ללא תבנית חוזרת. הוכחה ש-√2 אי-רציונלי (מיוחסת לפיתגוראים לפני 2500 שנה, ואף יותר): נניח בשלילה ש-√2 = p/q (במונחים פשוטים). אז 2 = p²/q², ולכן p² = 2q². p² זוגי → p זוגי → p=2k. לכן 4k² = 2q² → q² = 2k² → q זוגי. אבל אם גם p וגם q זוגיים, השבר לא פשוט — סתירה. הוכחה זו, שנקראת הוכחה בדרך השלילה , מדהימה כי ב-10 שורות היא מוכיחה דבר שנראה בלתי-אפשרי — שמספר "פשוט" כמו √2 לא ניתן לכתיבה כשבר. הפיתגוראים התייחסו לכך כסוד מסוכן ומסתורי. לאחר מכן גילו ש-√3, √5, π, e ועוד — כולם אי-רציונליים.